Теңдеуді пайдалана отырып шешілген мәселелер. Математикадағы мәселелерді шешу

Мектеп математика пәні бойынша әрдайым қиындықтар туындайды. Кейбіреулер бірнеше әрекеттерге тыйым салынған, басқалары кейбір басқатырғыштар талап етеді.

Теңдеудің көмегімен шешілген қиындықтар бірінші кезекте қиын. Егер сіз тәжірибе алсаңыз, онда бұл үдеріс автоматизмге жетеді.

Геометриялық пішіндер

Сұрақты түсіну үшін мәнді түсіну қажет. Шартты мұқият оқып шығыңыз, бірнеше рет қайталаңыз. Теңдеулерге қатысты қиындықтар бірінші кезекте қиын. Келіңіздер, ең қарапайым басталған мысалға назар аударайық.

Төртбұрышты ескере отырып, оның аумағын табу қажет. Берілген: ені ұзындығынан 48% аз, тіктөртбұрыштың периметрі - 7,6 сантиметр.

Математикадағы мәселелерді шешу мұқият оқу, логика талап етеді. Оны бірге шешейік. Ең алдымен, не ескеру керек? X ұзындығын көрсетіңіз. Сондықтан біздің теңдеуде ені 0,52х. Бізге периметр - 7,6 сантиметр беріледі. Жартылай жылдамдықты табайық, өйткені бұл 7,6 сантиметрді бөліп, 2, 3,8 сантиметрге тең. Біз ұзындығы мен енін анықтайтын теңдеуді алдық:

0.52x + x = 3.8.

X (ұзындығы) болса, 0,52x (ені) табу қиын болмайды. Егер бұл екі мөлшерді білсек, онда біз негізгі сұрақтың жауабын табамыз.

Теңдеудің көмегімен шешілген мәселелер күрделі емес, олар бірінші мысалдан түсінікті. Біз ұзындығы x = 2,5 сантиметр, ені (біз y деп аталатын) 0,52x = 1,3 сантиметр. Біз алаңға барамыз. Ол S = x * y қарапайым формуласынан табылған (тікбұрыштар үшін). Біздің міндетімізде S = 3.25. Бұл жауап болады.

Аймақты табу проблемаларын шешудің кейбір мысалдарын қарастырайық. Және бұл жолы біз тіктөртбұрышты аламыз. Периметрді табу кезінде математиканың проблемаларын шешу, әртүрлі сандардың ауданы жиі кездеседі. Мәселенің жай-күйін оқимыз: ұзындығы ені 3,6 сантиметрді құрайды, бұл суреттің периметрінің 1/7 құрайды. Осы тіктөртбұрыштың аумағын табыңыз.

X айнымалысы ені мен ұзындығы ( x + 3.6) сантиметрді белгілеу ыңғайлы болады. Периметрді табайық:

P = 2x + 3.6 .

Теңдеулерді шеше алмаймыз, өйткені бізде екі айнымалы бар. Сондықтан біз жағдайды қайтадан қарастырамыз. Ол ені - периметрдің 1/7 бөлігі. Теңдеуді аламыз:

1/7 (2x + 3,6) = x .

Шешімнің ыңғайлылығы үшін теңдеудің әрбір бөлігін 7-ке көбейтіңіз, сондықтан фракциядан құтыламыз:

2x + 3.6 = 7x.

Ерітіндіден кейін x (ені) = 0,72 сантиметрге жетеміз. Ені туралы біле отырып, ұзындығын білеміз:

0,72 + 3,6 = 4,32 см.

Енді біз ұзындығын және енін білеміз, тіктөртбұрыштың аумағына тең келетін басты сұраққа жауап беріңіз.

S = x * y , S = 3,1104 см.

Сүті бар түтікшелер

Теңдеулер көмегімен проблемаларды шешу мектеп оқушыларына қиындық тудырады, дегенмен бұл тақырып төртінші сыныпта басталады. Көптеген мысалдар бар, біз геометриядан сәл ауытқып жатқан сандардың аймағын тауып көрдік. Кестелермен қарапайым тапсырмаларды қарастырайық, олар көрнекі түрде көмектеседі: шешімге көмектесетін деректер жақсы көрінеді.

Балаларды мәселенің жай-күйін оқуға шақырыңыз және теңдеуді құруға көмектесетін кесте жасаңыз. Міне, шарты: екінші банкке қарағанда, алғашқы үш есе артық сүт бар. Егер бірінші литр бес литр құйып, сүт тең бөлінеді. Сұрақ: әрқайсысының қанша сүті бар?

Шешімге көмектесу үшін кесте жасау керек. Бұл не болуы керек?

Шешім

	Бұл болды	Болды
1 мүмкін	3x	3x5
2 банка	X.	X + 5

Бұл теңдеуді құруға қалай көмектеседі? Біз сүттің нәтижесінде бірдей болғанын білеміз, сондықтан теңдеу келесідей болады:

3x-5 = x + 5;

2x = 10;

X = 5.

Біз екінші сүтке сүттің алғашқы санын анықтадық, яғни бірінші кезекте: 5 * 3 = 15 литр сүт.

Енді кестені құрастыру туралы біраз түсініктеме.

Неліктен біз бірінші өлшемді 3x деп белгіледік: екінші сүт пулын үш есе азайтқан жағдайда. Содан кейін біз бірінші ыдысқа 5 литр су құйылғанын оқып шығамыз, демек, ол 3x-5 болды, екіншісіне құйылды: x + 5 . Неге біз осы жағдайларды теңестірдік? Тапсырма жағдайында сүт тең болған деп айтылады.

Сондықтан біз жауапты аламыз: бірінші топ 15 литр, екіншісі - 5 литр сүт.

Тереңдігін анықтау

Мәселенің жай-күйі бойынша: бірінші ұңғы тереңдігі екіншіден 3,4 метрге асады. Алғашқы ұңғыма 21,6 метрге, ал екіншісі - үш есе, бұл әрекеттерден кейін ұңғымалардың тереңдігі бірдей. Әрбір ұңғыма бастапқыда қаншалықты тереңдікті есептеу керек.

Мәселелерді шешу әдістері көп, әрекеттер жасай алады, теңдеулер немесе жүйе жасай алады, бірақ екінші нұсқасы ең ыңғайлы. Шешімге өту үшін алдыңғы мысалдағы кестені жасаймыз.

Шешім

	Бұл болды	Болды
1 ұңғыма	X + 3.4	X + 3.4 + 21.6
2 ұңғыма	X.	3x

Енді теңдеудің тұжырымдамасына ауысамыз. Ұңғымалар бірдей тереңдіктен болғандықтан, оның келесі формасы бар:

X + 3.4 + 21.6 = 3x;

X = 3x = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12.5

Екінші ұңғыманың түпнұсқалық тереңдігін таптық, енді біз бірінші табамыз:

12,5 + 3,4 = 15,9 м.

Жасалған әрекеттерден кейін біз жауапты жазамыз: 15,9 м, 12,5 м.

Екі ағайынды

Айта кетейік, бұл тапсырма барлық бұрынғыдан ерекшеленеді, өйткені бастапқыда объектілердің саны бірдей болған. Бұдан шығатын болсақ, қосалқы кесте керісінше жасалады, яғни ол «болды» деген «болды».

Жағдай: екі ағайындыға бірдей жаңғақ берілді, бірақ ақсақасы ағасына 10 берді, содан кейін кішкентай жаңғақ бес есе үлкен болды. Әр балаға қанша жаңғақ бар?

Шешім

	Бұл болды	Болды
Аға	Х + 10	X.
Кіші	5x - 10	5x

Теңдеуді қалыптастырамыз:

X + 10 = 5x - 10;

-4x = -20;

Х = 5 - үлкен ағында жаңғақ болды;

5 * 5 = 25 - кіші ағасы.

Енді сіз жауапты жаза аласыз: 5 жаңғақ; 25 жаңғақ.

Сатып алу

Мектепте кітаптар мен ноутбуктер сатып алуға тура келеді, біріншісі - 4,8 рубль. Бір кітапты және бір кітапты қанша төлеуге болатынын, егер сіз бірдей ақшаны бес кітап пен жиырма бір жазу кітапшасымен сатып алған болсаңыз.

Шешімге дейін мынадай сұрақтарға жауап беруге болады:

• Бұл мәселеде қандай проблема бар?
• Олар қанша төледі?
• Сіз не сатып алдыңыз?
• Қандай құндылықтарды түзетуге болады?
• Сізге не білу керек?
• X мәні қандай?

Сіз барлық сұрақтарға жауап берсеңіз, онда біз шешімге жүгінеміз. Бұл мысалда x мәні бір жазу кітапшасының бағасы және кітап құнына тең болуы мүмкін. Екі ықтимал нұсқаны қарастырайық:

1. X - бір жазу кітапшасының құны, содан кейін x + 4.8 - кітаптың бағасы. Бұдан шығатын болсақ, теңдеуді аламыз: 21x = S (x + 4.8).
2. X - бұл кітаптың құны, ал х - бұл ноутбуктың бағасы 4.8 . Теңдеудің түрі бар: 21 (x - 4.8) = 5x.

Өзіңіз үшін қолайлы нұсқаны таңдай аласыз, содан кейін екі теңдеуді шешіп, жауаптарды салыстыру үшін нәтиже ретінде сәйкес келуі керек.

Бірінші әдіс

Бірінші теңдеудің шешімі:

21x = 5 (х + 4,8);

4,2х = х + 4,8;

4,2х - х = 4,8;

3,2х = 4,8;

Х = 1,5 (рубль) - бір жазу кітапшасының құны;

4.8 + 1.5 = 6.3 (рубль) - бір кітаптың құны.

Бұл теңдеуді шешудің тағы бір жолы (жақшаларды ашу):

21x = 5 (х + 4,8);

21x = 5x + 24;

16x = 24;

Х = 1,5 (рубль) - бір жазу кітапшасының құны ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (рубль) - бір кітаптың бағасы.

Екінші тәсіл

5x = 21 (х = 4,8);

5x = 21x - 100,8;

16x = 100,8;

Х = 6,3 (рубль) - 1 кітаптың құны;

6.3 - 4.8 = 1.5 (рубль) - бір жазу кітапшасының құны.

Мысалдардан көріп отырғанымыздай, жауаптар бірдей, демек, мәселе дұрыс шешілді. Шешімнің дұрыстығына көз жеткізіңіз, біздің мысалымызда жауаптар теріс болмауы керек.

Теңдеулердің көмегімен, мысалы, қозғалыс кезінде шешілетін басқа да мәселелер бар. Оларды келесі мысалдарда егжей-тегжейлі қарастырайық.

Екі автокөлік

Бұл бөлімде қозғалыс міндеттері талқыланады. Оларды шешу үшін келесі ережені білу қажет:

S = V * T,

S - қашықтық, V - жылдамдық, T - уақыт.

Бір мысал қарастырып көрейік.

Екі автокөлік бір мезгілде А нүктесінен Б нүктесіне дейін қалдырылды. Алғашқы жылдамдық барлық қашықтықты бірдей жылдамдықта жүрді, жолдың екінші жартысы жылдамдықпен 24 км / сағ, екіншісі - 16 км / сағ жүрді. Алғашқы автобустың жылдамдығын анықтау қажет, егер B нүктесінде олар бір мезгілде келді.

Теңдеуді құрастыруымыз керек: V ₁ негізгі айналымы (бірінші автокөліктің жылдамдығы), қайталама: S - жолы, T ₁ - бірінші автокөлік жолында уақыт. Теңдеу: S = V ₁ * T _{1 .}

Одан кейін екінші автокөліктің бірінші жартысы (S / 2) V ₂ = 24 км / с жылдамдықпен жүрді. Біз өрнек аламыз: S / 2 = 24 * T _{2 .}

Келесі жолы V ₃ = 16 км жылдамдықпен жүрді. S / 2 аламыз = 16 * T ₃ .

Бұдан басқа, автомобильдер бір мезгілде келгендіктен, T ₁ = T ₂ + T ₃ . Енді біз T ₁ , T ₂ , Біздің алдыңғы шарттарымыздан T ₃ . Теңдеуді аламыз: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S бірлік ретінде қабылданады және теңдеуді шешеміз:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V ₁ = (2/96) + (3/96);

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19,2 км / сағ.

Бұл жауап. Теңдеуді пайдалана отырып шешілетін проблемалар тек бірінші көзқараста күрделі. Жоғарыда айтылғандардан бөлек, сіз келесі бөлімде қарастырылған жұмыс тапсырмаларын қанағаттандыра аласыз.

Job Challenge

Бұл тапсырманы шешу үшін формуланы білу қажет:

A = VT ,

А - бұл жұмыс, V - өнімділік.

Толық сипаттама үшін сізге мысал келтіріңіз. «Мәселелерді теңдеулер арқылы шешу» (6-сынып) тақырыбы осындай қиындықтарды тудыруы мүмкін, себебі бұл күрделі деңгей, бірақ біз танысу үшін үлгі береміз.

Шартты мұқият оқып шығыңыз: екі қызметкер бірге жұмыс істейді және он екі күн бойы өнер көрсетуді жоспарлайды. Бірінші қызметкердің сол норманың қаншалықты орындалатындығын анықтау қажет. Белгілі болғандай, ол екі күн бойы екі күндік жұмыс көлемін екінші қызметкер ретінде орындайды.

Теңдеулерді қалыптастыру үшін қиындықтарды шешу шартты мұқият оқып шығуды талап етеді. Біріншіден, біз міндетін түсіндік, бұл жұмыс анықталмаса, оны бірлік ретінде қабылдаймыз, яғни A = 1 . Егер мәселе белгілі бір бөлікке немесе литрге қатысты болса, онда осы деректерден жұмыс керек.

Бірінші және екінші жұмысшылардың V ₁ және V ₂ арқылы өнімділігін осы кезеңде, тиісінше, келесі теңдеу мүмкін:

1 = 12 (V ₁ + V ₂ ) .

Бұл теңдеу бізге не айтады? Барлық жұмыстарды он екі сағатта екі адам жасайды.

Бұдан әрі айта аламыз: 2В ₁ = 3В ₂ . Өйткені, екі күннің ішінде алғашқы үшеуі екінші орында. Теңдеулер жүйесін алды:

1 = 12 (V1 + V2);

2В ₁ = 3В _2.

Жүйенің шешімі негізінде бір айнымалы теңдеуді алдық:

1 - 8В ₁ = 12В _1;

V ₁ = 1/20 = 0.05.

Бұл бірінші жұмысшы еңбек өнімділігі. Енді біз бірінші адам барлық жұмыстармен айналысатын уақытты таба аламыз:

A = V ₁ * T _1;

1 = 0.05 * T ₁ ;

T ₁ = 20.

Уақыт бірлік ретінде қабылданады, жауап 20 күн.

Мәселені қайта құру

Егер сіз трафик проблемаларын шешуге дағдылана алдыңыз және сізде жұмыс тапсырмасында қиындықтар туындаса, жұмысынан трафикті алуға болады. Қалайша? Соңғы мысалды қарастыратын болсақ, шарт келесідей: Олег пен Дима бір-біріне жақындап, олар 12 сағатта кездеседі. Ол екі сағатта Диманың жолымен үш сағатта жолмен жүретіні белгілі болғанда, ол қаншалықты өз жолында өз жолын еңсере алатынын біледі.