Ұшақтың теңдеуі: қалай жасауға? Түрлері ұшақ теңдеулер

Ұшақ ғарыш түрлі жолдармен (және т.б. бір нүкте және векторлық, векторлық және екі ұпай, үш ұпай) анықталуы мүмкін. Ол Осыны ескере отырып табылады, ұшақ теңдеу әр түрлі болуы мүмкін. Сондай-ақ, белгілі бір жағдайларда ұшақ және т.б., параллель, перпендикуляр қиылысу болуы мүмкін Бұл туралы және осы бапта айтуға болады. Біз жалпы Жазықтықтың теңдеуін ғана емес жасауға үйренеді.

теңдеудің қалыпты формасы

R тікбұрышты жүйесі XYZ координаттары кеңістік ₃ болып табылады делік. Біз α оған перпендикуляр жазықтық P аударту векторының соңына дейін бастапқы нүктесі О. шығады векторлық а, анықтайды.

еркін нүкте Q = (х, у, г) P белгілейік. нүктесі Q белгісі хатқа б радиус-вектор. векторының ұзындығы α P = IαI тең және Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

вектор а ретінде бағытта бағытталған Бұл құрылғы векторы. α, β және γ - Z тиісінше векторлық және оң бағыттары Ʋ ғарыш балталар X, Y, арасындағы қалыптасады бұрыштары. векторы QεP Ʋ туралы нүктесінің проекциясы (р, Ʋ) = P (r≥0) тең болып табылатын тұрақты болып табылады.

кезде р = 0, жоғарыда теңдеу мағыналы болып табылады. Бұл жағдайда ғана N ұшақ, тегі болып табылады нүктесі O (= 0 α), кесіп еді, және нүкте O босатылған блок векторы Ʋ, векторлық Ʋ анықталады дегенді білдіреді, оның бағытта, дегенмен, P перпендикуляр болады белгісі дейін. Алдыңғы теңдеу біздің ұшақ P болып табылады, вектор түрінде білдірді. Бірақ оның координаттар көрінісінде болып табылады:

P артық немесе Біз қалыпты түрінде ұшақ теңдеуді тапты 0. тең.

жалпы теңдеуі

координаталар теңдеу нөлге тең емес кез келген санына көбейту болса, біз өте ұшақ анықтайды осы үшін теңдеу баламасы алу. Ол мынадай түрде болады:

Мұнда, А, В, С - нөлден бастап бір мезгілде әр түрлі саны болып табылады. Бұл теңдеу жазықтықта жалпы нысандағы теңдеуі деп аталады.

ұшақтардың теңдеулері. ерекше жағдайлар

теңдеу, әдетте, қосымша шарттармен өзгертуге болады. Олардың кейбірін қарастырып көрейік.

коэффициенті А Бұл алдын ала белгіленген осі Ox дегенге ұшақ параллель көрсетеді 0. екенін есептейік. Теңдеу өзгерістер Бұл жағдайда, нысаны: Ву + Cz + D = 0.

Сол сияқты, теңдеу нысаны мен мынадай жағдайларға байланысты болады:

• Біріншіден, осі Oy үшін параллелизм көрсетуі еді Ax + Cz + D = 0 үшін B = 0, теңдеу өзгерістер, егер.
• C = 0, теңдеу Ax + By + D = 0 айналады, егер Екіншіден, бұл алдын ала белгіленген осіне Oz параллель туралы айтуға болады.
• D = 0, егер Үшінші, теңдеу ұшақ O (тегі) кесіп білдірер еді Ax + By + Cz = 0, сондай-ақ пайда болады.
• Төртіншіден, A = B = 0, параллелизм Oxy дәлелдеуге болады Cz + D = 0 теңдеуі өзгерістер, егер.
• B = C = 0, егер бесінші, теңдеу ұшақ Oyz параллель екенін білдіреді, ол Ax + D = 0 айналады.
• , Теңдеу нысанын Ву + D = 0 қабылдайды A = C = 0, егер Алтыншыдан, яғни, параллелизм Oxz есеп береді.

сегменттерінде теңдеудің нысаны

төмендегідей нөлден өзгеше нөмірлері A, B, C, D жағдайда, теңдеу нысаны (0) болуы мүмкін:

X / A + Y / B + Z / с = 1,

, онда а = -D / A, B = -D / B, C = -D / C.

Біз дана ұшақ нәтижесі теңдеу ретінде алады. (0, б, 0), және Oz - - (0,0, S) Бұл ұшақ координаттары (а, 0,0), Oy бар нүктесінде X-осі қиылысатын деп атап өткен жөн.

теңдеу х / а + у / B + Z / с = 1 ескере отырып, бұл алдын ала белгіленген координаттар жүйесіне орналастыру ұшақ қатысты визуализация үшін қиын емес.

қалыпты вектордың координаттары

қалыпты вектор N P жазықтықтың жалпы теңдеуінің коэффициенттері болып координаттарын, яғни бар N (A, B, C) жазықтығына.

қалыпты N координаттарын анықтау үшін, ол ұшақ берілген теңдеудің жалпы білу жеткілікті.

(1 / + 1 / B + 1 /: теңдеудің жалпы пайдаланған кезде кез келген қалыпты вектордың координаттары берілген ұшақ жазбаша болуы мүмкін, себебі, сегменттерінде теңдеуді пайдаланып, у / B + Z / с = 1 нысаны X / A + бар кезде с).

Ол әр түрлі мәселелерді шешу үшін көмектесуге қалыпты вектор атап өткен жөн. ең көп кездесетін ақаулықтар, дәлелі перпендикуляр немесе параллель жазықтықтарда ұшақтардың тікелей желілер арасындағы ұшақтардың немесе бұрыштары арасындағы бұрыштары табу міндетін тұратын жатыр.

жазықтық теңдеуін және нүкте қалыпты вектордың координаттары сәйкес теріңіз

берілген жазықтыққа перпендикуляр ненулевое векторлық N, алдын ала белгіленген жазықтығына (қалыпты) қалыпты деп аталады.

: Үйлестіру кеңістікте (тік бұрышты координаттар жүйесі) Oxyz орнату делік

• координаттары (hₒ, uₒ, zₒ) бар Mₒ нүктесі;
• нөлдік вектор N = і B * J + C * К + A *.

Сіз қалыпты N перпендикуляр Mₒ нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жасау қажет.

кеңістікте біз кез келген еркін нүктесін таңдау және M (х, у, Z) жәйттерді. rₒ = hₒ * Мен uₒ + - Мен у * J + Z * K, және Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) нүктеден радиус-вектор + * R = X болады (Z, X, Y) әрбір нүктесі М радиус-вектор болсын * J + zₒ * K. вектор MₒM вектор N перпендикуляр болса нүктесі М, берілген жазықтыққа тиесілі болады. Біз скаляр өнімді пайдалану ортогоналды жағдайын жазу:

[MₒM, N] = 0.

MₒM = R-rₒ бастап, ұшақ векторлық теңдеуі осы сияқты көрінеді:

[R - rₒ, N] = 0.

Бұл теңдеу, сондай-ақ басқа пішінді болуы мүмкін. Осы мақсат үшін, скаляр көбейтіндісі қасиеттері, және теңдеудің сол жағын түрлендіріледі. [R - rₒ, N] = [R, N] - [rₒ, N]. - а = 0 немесе [R, N] = с, ұшақ тиесілі берілген ұпай радиусы-векторлар қалыпты векторының проекциясы тұрақтылық білдіреді [R, N]: [rₒ, N] S ретінде белгіленеді, онда біз мынадай теңдеу.

Енді сіз үйлестіру түрі жазу ұшақ біздің векторы теңдеуін [R - rₒ, N] алуға болады R-rₒ = (х-hₒ) * I + (у-uₒ) * J + (Z-zₒ) * К бастап = 0 пернесін, және N = і B * J + C * К + A *, бізде:

Бұл біз теңдеу қалыпты N перпендикуляр нүктесі арқылы өтетін жазықтық қалыптасады деп шығады:

A * (X hₒ) + B * (у uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

жазықтық теңдеуін және векторлық ұшақ коллинеарны екі нүктелерінің координаттарын сәйкес теріңіз

Біз екі еркін ұпай М «(х ', у', Z») және М «(х», у «, Z»), сондай-ақ вектор ( ', а «, а ‴) анықтау.

Енді біз координаттар М берілген вектордың (х, у, Z) параллель бар теңдеу алдын ала белгіленген қолданыстағы нүктесі М «және М» арқылы өтеді жазықтық, және әрбір нүктесін жаза аласыз.

Осылайша M'M { 'у-у, «х; ZZ'} х = векторлары және М» М = {х «-x ', У у'; Z» -Z} векторына планарлы болуы тиіс «дегенді білдіреді (бір ‴, (M'M М = ', а)» М, а) = 0.

Сондықтан кеңістікте ұшақтың біздің теңдеу осы сияқты көрінеді:

үш ұпай кесіп ұшақ теңдеуінің түрі,

сол жолда тиесілі емес (х ', у', Z «), (х ', у', Z»), (х ‴ Have ‴, Z ‴),: ның біз үш ұпай бар делік. Бұл көрсетілген үш ұпай арқылы ұшақ өту теңдеуін жазу керек. Геометрия теориясы ұшақтың бұл түрі бар екенін бекітеді, ол бір ғана және тек қана. Бұл ұшақ нүктесін (х ', у', Z) кесіп бастап, оның теңдеуі нысаны болады:

Мұнда, А, В, және С сол уақытта нөлден өзгеше. Сондай-ақ, берілген ұшақ тағы екі ұпай (х «, у», Z «) және (х ‴, у ‴, Z ‴) қиып. Осыған байланысты жағдай осы түрін жүзеге асырылуға тиіс:

Енді біз бірыңғай жүйесін жасауға болады теңдеулер (сызықтық) W, белгісіз U, V бар:

Біздің жағдайда Х, у немесе Z теңдеуін (1) қанағаттандыратын еркін нүктесін тұр. теңдеу (1) және теңдеулер жүйесі (2) және (3) жоғарыдағы суретте көрсетілген теңдеулер жүйесінің, векторлық қанағаттандырмайды нетривиальна N (A, B, C) қарастыру. жүйенің айқындаушы нөлге тең, өйткені ол болып табылады.

Теңдеу (1), біз алдым деп, осы ұшақтың теңдеу болып табылады. 3 нүкте ол шынымен жүріп, және ол тексеру оңай. Бұл әрекетті орындау үшін, біз бірінші жолда элементтермен аны кеңейту. Қолданыстағы қасиеттері айқындаушы біздің ұшақ бір мезгілде үш бастапқыда берілген нүктесінде (х ', у', Z «), (х», у «, Z»), (х ‴, у ‴, Z ‴) кесіп мынадай. Сондықтан біз алдында тапсырамын туралы шешім қабылдады.

жазықтық арасындағы двугранных бұрышы

Двугранных бұрышы тік сызық ескерген екі жарым-ұшақтар құрылған кеңістіктік геометриялық пішіні болып табылады. Басқаша айтқанда, жарты жазықтықта шектелген кеңістіктің бөлігі.

біз мына теңдеулер екі ұшақ бар делік:

Біз алдын ала белгіленген ұшақтардың сәйкес вектор N = (A, B, C) және N¹ = (A¹, H¹, S¹) перпендикуляр екенін білеміз. Осы орайда, бұл ұшақтардың арасында орналасқан векторлар N және N¹ тең бұрышы (диэдральный), арасындағы φ бұрышы. скаляр көбейтіндісі арқылы беріледі:

ф COS, | NN¹ = | N || N¹

дәл, өйткені

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ол бұл 0≤φ≤π қарастыру жеткілікті.

қиылысатын Шын мәнінде екі ұшақ, нысаны екі бұрышы (диэдральный): ₁ және φ _{2 φ.} Олардың сомасы П (φ ₁ + φ ₂ = π) тең. олардың косинусын болсақ, олардың абсолюттік мәндері тең болып табылады, бірақ олар әр түрлі белгілер, яғни, COS φ ₁ = -cos φ ₂ болып _{табылады.} теңдеу (0), тиісінше -a, Б және -C А, В және С теңдеу ауыстырылады, онда біз, алу бір жазықтықта, φ = Н.Н. ¹ / COS теңдеу φ ғана бұрышын анықтауға болады | N || N ¹ | Бұл π-Ф ауыстырылады.

перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі

бұрышы 90 градус болып табылатын арасындағы перпендикуляр жазықтық деп аталады. Жоғарыда ұсынылған материалды пайдалана отырып, біз басқа перпендикуляр жазықтық теңдеуін таба аласыз. Ax + By + Cz + D = 0, және + A¹h V¹u S¹z + + D = 0: біз екі ұшақ бар делік. Біз COS = 0, егер олар ортогоналды болып табылады деп айтуға болады. Бұл сол NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 білдіреді.

параллель жазықтық теңдеуі

Ол ортақ ешқандай ұпай құрамында екі параллель жазықтықтар деп аталады.

жағдайы параллель жазықтықтардың (олардың теңдеулері алдыңғы тармақта бірдей) оларға перпендикуляр векторлар N және N¹, коллинеарны болып табылады. Бұл мынадай шарттар парапарлығын кездесті білдіреді:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

пропорционалды терминдер кеңейтілген болса - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Осы бірдей деректер ұшақ көрсетеді. Бұл сол теңдеуді Ax + By + Cz + D = 0 білдіреді және + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 бір ұшақ сипаттайды.

нүктесінен жазықтығына дейінгі қашықтық

біз (0) беріледі ұшақ P, бар делік. Ол = координаттары (hₒ, uₒ, zₒ) бар нүктесінен қашықтықты табу Qₒ қажет. , Сіз оны жасауға ұшақ II қалыпты келбетін теңдеуді келтіру қажет:

(Ρ, V) = P (r≥0).

Бұл жағдайда, ρ (х, у, Z) N P орналасқан біздің нүктесі Q, радиусы векторы - N нөлдік нүктеден бастап шығарылды, ол перпендикуляр ұзындығы, V - бағыт орналасқан жалғыз векторы болып табылады.

нүкте Q = (х, у, Z), N және берілген нүкте Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) радиусы векторының тиесілі айырмашылық ρ-ρº радиус-вектор осындай векторы, бойынша жүгіргісі абсолютті мәні болып табылады V Р = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) Q бастап табу қажет қашықтық D, тең:

D = | (ρ-ρ ^0, V) |, бірақ

(Ρ-ρ ^0, V) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) р (ρ ^0, V) =.

Сондықтан ол шығады,

D = | (ρ ^0, V) р. |

Енді ол Q ұшақ P ₀ қашықтық D есептеу, бұл қалыпты көрініс жазықтық теңдеуін, р тастап, X соңғы орынға жылжуын, Y, Z алмастырғыш (hₒ, uₒ, zₒ) пайдалану қажет екені түсінікті.

Осылайша, біз D қажет нәтижесінде білдіру абсолютті мәнін табу.

тілі параметрлерін пайдалана отырып, біз айқын алуға:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

көрсетілген нүкте Q ₀ тегі ретінде ұшақ P басқа жағында болса, онда векторы ρ-р, ⁰ және V арасында , бір тупой бұрышы , осылайша:

D = - (ρ-ρ ^0, V) = (ρ ^0, V) -p> 0.

жағдайда U сол жағында орналасқан тегі ұштастыра отырып, нүкте Q _0, өткір бұрышы құрылады, яғни:

D = (ρ-ρ ^0, V) = P - (ρ ^0, V)> 0.

нәтижесі екінші (Р ^0, V)

0, V)> р, яғни.

Ал оның жанама жазықтық теңдеуі

бетіндегі сол нүкте арқылы жасалады қисық барлық ықтимал тангенсін бар ұшақ - касание Mº нүктесінде бетіне жазықтықта қатысты.

: Тангенс ұшақ тангенс нүктесі Mº теңдеуі 0 (hº, uº, zº) болар еді = теңдеуінің F осы беті түрінде (Z х, у) бар

F _х (hº, uº, zº) (hº х) + F _х (uº, hº, zº) (uº у) + F _х (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

беті анық Z = F (х, у) орнатылған болса, онда тангенс ұшақ теңдеуі сипатталады:

Z-zº = F (hº, uº) (hº х) + F (hº, uº) (у uº).

екі жазықтықтың қиылысу

Жылы үш өлшемді кеңістікте жабатын және сәйкес емес екі ұшақ P 'және P' берілген (тік бұрышты) Oxyz, координаттар жүйесі болып табылады. Тік бұрышты жалпы теңдеумен анықталады координаттар жүйесі болып табылатын кез келген жазықтықта, бері, біз N + B х '+ у' «= 0 және А және N теңдеулер A'x + V'u S'z + + D айқындалады» деп болжауға «Z + Д» = 0. Бұл жағдайда біз ұшақ P «және ұшақ P қалыпты N» (A «, В», С «) 'қалыпты N' (A ', B', C ') бар. Біздің ұшақ параллель емес және сәйкес емес ретінде, содан кейін осы векторлар коллинеарны емес. математика тілін пайдалана отырып, біз осы шарты ретінде жазуға болады бар: N '≠ N «↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ал», λ * жылы «, X * С»), λεR. тікелей қиылысында P жатыр желісін болсын «және P», хат, бұл жағдайда а = П таңбалау арқылы боламыз «∩ P».

және - ұпай (ортақ) ұшақтар P 'және Р «көптеген тұратын сызық. Бұл + + D '= 0 және А «х + B + C у» Z + D «= 0 желісі а тиесілі кез келген нүктесінің координаттары, бір мезгілде теңдеуді A'x + V'u S'z қанағаттандыруға тиіс дегенді білдіреді. Бұл нүктенің координаттары мынадай теңдеулер нақты шешім болады дегенді білдіреді:

нәтижесі теңдеулер осы жүйенің (жалпы) шешім қиылысы Р нүктесі ретінде әрекет етеді жолда әр нүкте координаталарын анықтау «және P», және координаттар жүйесі Oxyz (тікбұрышты) ғарыш саласындағы желісін анықтау болады.