Табиғи сан деген не? Тарих, ауқымы, қасиеттері

Математика б.з.д. VI ғасырдың жалпы философиясынан ерекшеленді. Осы сәттен бастап бүкіл әлемде жеңіске жетті. Дамудың әр кезеңі жаңа бір нәрсе енгізді - қарапайым есеп дамыған, дифференциалды және интегралдық есептеуге айналды, ғасырлар ауыстырылды, формулалар күрделене түсті және «ең күрделі математика басталды - барлық сандар жоғалып кетті» деген сәтте келді. Бірақ қандай негіз болды?

Басталудың басталуы

Табиғи сандар бірінші математикалық операциямен қатар пайда болды. Омыртқаға, екі тамырға, үш тамырға бір рет ... Олар алғашқы позиционды сандар жүйесін шығарған үнділік ғалымдарға алғыс білдірді . «Позициялық» сөзі санның әрбір санының орналасуы қатаң анықталған және оның санатына сәйкес келетіндігін білдіреді. Мысалы, 784 және 487 нөмірлері бірдей сандар болып табылады, бірақ олардың саны бірдей емес, өйткені олардың ішіндегі бірінші саны 7 жүзді құрайды, ал екінші нөмір 4-ді құрайды. Индиевтердің жаңалықтарын біз білетін түрлерге әкелген арабтар алды Қазір.

Ежелгі дәуірде сандарға мистикалық мағына берілді, ең үлкен математик Пифагор басты сандармен бірге - әлемнің пайда болуының негізі - өрт, су, жер, ауа деп санайды. Егер біз математикалық жағынан бәрін қарастырсақ, онда табиғи сан деген не? Табиғи сандардың өрісі N арқылы белгіленеді және бүтін және позитивті сандардың шексіз сериясын білдіреді: 1, 2, 3, ... + ∞. Нөлдік алынып тасталды. Ол негізінен объектілерді санау және тапсырыс беру үшін пайдаланылады.

Математиканың табиғи саны қандай? Пианодың аксиомалары

N өрісі - қарапайым математика негізделген базалық өріс. Уақыттың өтуімен бүтін сандар, ұтымды, күрделі сандар бөлінді .

Итальяндық математик Джузеппе Пейанодың шығармалары арифметиканың әрі қарай құрылымдалуына мүмкіндік берді, оның формальдығына қол жеткізді және Н даласының өрісінен тыс әрі қарай қорытынды жасауға негіз болды. Табиғи сан бұрын қарапайым тілмен түсіндіріледі, төменде Пеано аксиомаларына негізделген математикалық анықтама.

• Бірлік табиғи сан деп саналады.
• Табиғи саннан кейінгі сан табиғи болады.
• Бірлікке дейін табиғи сан жоқ.
• Егер b саны c және d санына тең болса, онда c = d.
• Индукцияның аксиомасы, өз кезегінде, мұндай табиғи саны бар екенін көрсетеді: егер параметрге байланысты кейбір бекіту 1 санына қатысты болса, онда бұл сан табиғи сандар өрісінен n үшін жұмыс істейді деп есептейік. Сонда бекіту n = 1 табиғи сандар өрісінен

Табиғи сандар өрісі бойынша негізгі операциялар

Өйткені N өрісі математикалық есептеулер үшін бірінші болып табылғандықтан, бірнеше операциялардың мәндері мен мәндерінің диапазоны төменде көрсетілген. Олар жабық және жоқ. Негізгі айырмашылығы, жабық операциялар N санының ішінде нәтижені қалдыруға кепілдік береді, оның қандай сандарға қатысы бар. Олар табиғи болып табылады. Қалған сандық өзара әрекеттесудің нәтижесі бұдан былай айқын емес және тікелей түсініктемедегі қай сандарға байланысты, себебі ол негізгі анықтамаға қайшы келуі мүмкін. Мәселен, жабық операциялар:

• Қосымша - x + y = z, мұндағы x, y, z N өрісіне енгізілген;
• Көбейту - x * y = z, мұндағы x, y, z N өрісіне енгізілген;
• Exponentiation - x ^y , мұндағы x, y өрісіне енгізілген.

Нақты нәтиже «табиғи сан» деген анықтама тұрғысында болмауы мүмкін басқа да операциялар мыналар болып табылады:

• Жою - x - y = z. Табиғи сандардың өрісі тек қана y-дан үлкен болған жағдайда ғана қабылданады;
• Бөлім - x / y = z. Табиғи сандар өрісі тек қана қалдықсыз, яғни толықтай бөлінген жағдайда ғана қабылданады.

N өрісіне жататын сандардың қасиеттері

Барлық қалған математикалық дәлелдер төмендегі қасиеттерге негізделетін болады, ең маңызды, бірақ одан кем маңызды.

• Қосымшаның жылжымалы қасиеті x + y = y + x, мұнда x, y саны өрісіне енгізілген. Немесе барлық белгілі «сома дөңгелек орындарының өзгеруінен өзгермейді».
• Көбейту қасиеті x * y = y * x, мұндағы x, y саны өрісіне енгізілген.
• Қосылудың біріктірілген қасиеті (x + y) + z = x + (y + z), мұндағы x, y, z өрісіне енгізілген.
• Көбейтудің комбинирленген қасиеті (x * y) * z = x * (y * z), онда x, y, z сандары N
• Бөлу сипаты x (y + z) = x * y + x * z, мұндағы x, y, z нөмірлері N өрісіне енгізілген.

Кесте Пифагор

Студенттердің қарапайым математика құрылымын білетін алғашқы қадамдарының бірі, олар сандар табиғи деп аталады, олар Пифагор кестесін құрайды. Бұл ғылымның тұрғысынан ғана емес, ең құнды ғылыми ескерткіш ретінде де қарастырылуы мүмкін.

Бұл көбейту кестесі кесте бойынша бірнеше өзгерістерге ұшырады: оның нөлі алынып тасталды және 1-ден 10-ға дейінгі сандар бұйрықтарды (жүздеген, мыңдаған) ескермей, өздерін білдіреді. Бұл жолдар мен бағандардың тақырыптары сандар болып табылатын кесте және олардың қиылысу ұяшықтарының мазмұны өнімге тең.

Соңғы онжылдықты оқыту тәжірибесінде Пифагорлық кестені «тәртіппен» есте сақтау қажет болды, яғни алдымен есте сақтау болды. 1-ге көбейту нәтижесі жойылды, себебі нәтиже бір немесе бірнеше көбейткіш болды. Сонымен қатар, кестеде көзге көрінбейтін тұрақтылықты көруге болады: сандардың өнімі бір сатыда өседі, бұл сызық атағына тең. Осылайша, екінші фактор қаншалықты қажетті өнімді алу үшін бірінші рет қанша рет қабылдауға болатындығын көрсетеді. Бұл жүйе орта ғасырларда қолданылғаннан гөрі ыңғайлы емес: тіпті табиғи санның қандай екенін және немқұрайды екенін түсініп, адамдар өздерінің күнделікті шоттарын қиындықтарға негізделген жүйені пайдалана отырып күрделендіре алды.

Математиканың бесігі сияқты ішкі жиын

Қазіргі кезде N санының табиғи сандары күрделі сандардың ішкі жиынтығы ретінде ғана қарастырылады, бірақ бұл оларды ғылымда кем түспейді. Табиғи сан - баланың өзіне және оның айналасындағы әлемді зерттеп үйренетін ең бірінші нәрсе. Бір саусақ, екі саусағ ... Адамның арқасында логикалық ойлау дамиды, сондай-ақ себеп-салдарын анықтап, нәтиже шығара білді, үлкен жаңалықтардың негізін дайындады.