Фурье түрлендіру. Фурье тез түрлендіру. Дискретті Фурье түрлендіру

Фурье түрлендіру - түрлендіру, нақты айнымалы белгілі бір функциясын байланыстыруға. Бұл операция біз түрлі дыбыстарды қабылдауға сайын жүзеге асырылады. Құлақ біздің сана ғана жоғары математика бөлімінде сараптама кейін аласыз орындауға автоматты «есептеу», шығарады. дыбыс (қатты, сұйық немесе газ тәріздес ортада толқын түрінде тарату серпімді ортада бөлшектердің дәстүрлі тербелмелі қозғалыс,) түрлі биіктіктердің үндерінің дыбыс деңгейін қатарынан мәндер ауқымында қарастырылған онда адам трансформация конструкцияларда, жылы орган есту. Осыдан кейін, ми барлық таныс дыбыс ақпаратты айналады.

Математикалық Фурье түрлендіру

дыбыс толқындарының немесе басқа да діріл процестердің Айырбастау (сәуле жарық және мұхит ағымдар және жұлдызды немесе күн цикл) жүзеге асырылады және математикалық әдістер арқылы болады. Осылайша, осы әдістерді пайдалана отырып, функциялары теңіз толқыны сияқты синусоидалы компоненттерін орнату тербелмелі процестер, барынша қайтадан максимум минимум бастап барып, яғни толқынды қисық, енгізу арқылы кеңейтілуі мүмкін. Фурье түрлендіру - нақты жиілігі сәйкес келетін әр синусоиданың кезеңін немесе амплитудасын сипаттайды трансформация функциясы. Фаза қисық нүктесі болып табылады, және амплитудасы - оның биіктігі.

Фурье (мысалдар фотосурет көрсетілген) түрлендіру ғылымның түрлі салаларында қолданылатын өте қуатты құрал болып табылады. Кейбір жағдайларда, ол жарық, жылу немесе электр энергиясын әсерінен болып жатқан динамикалық процестерді сипаттау шешім өте күрделі теңдеулер ретінде пайдаланылады. Басқа жағдайларда, ол химия, медицина және астрономия бойынша әр түрлі эксперименттік бақылаулар түсіндіру шынайы болуы мүмкін, сіз осы салдарынан күрделі пішіні тұрақты компоненттер, анықтауға мүмкіндік береді.

тарихи ақпарат

Бұл әдісті қолдану бірінші адам Француз математигі Жан Batist Fure болды. кейіннен оған атындағы Айырбастау, бастапқыда жылу механизмін сипаттау үшін қолданылды. жылу қасиеттерін зерттеу айналысатын өзінің бүкіл ғұмырында Фурье. Ол алгебралық теңдеулер тамыры анықтау математикалық теориясына үлкен үлес қосты. Фурье Ecole Polytechnique кезінде талдау профессоры болды, египтолога институтының хатшысы, (оның басшылығымен противомалярийных батпақты астам 80 мың шаршы шақырым құрғатылған болатын) Турин жол құрылысы кезінде ерекшеленді, ол империялық қызмет болды. Алайда, мұның бәрі белсенділік математикалық талдау айналысатын ғалым тоқтамады. 1802 жылы ол қатты денелердің жылу тарату сипаттайды теңдеуді алынды. 1807 жылы, ғалым «Фурье» ретінде белгілі болды, ол осы теңдеуді шешу үшін әдіс табылған.

жылу өткізгіштік талдау

Зерттеушілер жылу механизмін сипаттау үшін математикалық әдісті пайдаланды. Ыңғайлы мысал, есептеу ешқандай қиындық темір сақина арқылы жылу энергиясын насихаттау, онда, бір бөлігі өрт батыруға. эксперименттер жүргізу үшін сақинаның қызыл ыстық бөлігін Фурье және ұсақ құм оны жерлеу. Осыдан кейін, температура өлшеу оның қарама-қарсы бөлігінде жүзеге асырылады. Бастапқыда, жылу тарату бұрыс болып табылады: сақина бөлігі - суық, және басқа да - ыстық, аймақтары арасындағы күрт температуралық градиент байқауға болады. Алайда, металл бетінде жылу бөлу кезінде, ол неғұрлым біркелкі болып келеді. Сондықтан, көп ұзамай, бұл процесс синусоиданың нысанын қабылдайды. Біріншіден Graph дәл, косинус немесе синустық функцияның өзгеру заңдылықтарын біртіндеп арттырады, сондай-ақ тегіс азаяды. Wave біртіндеп теңестірді және нәтижесінде температура сақина бүкіл бетінде біркелкі болып келеді.

Осы әдістің авторы бастапқы тарату бастауыш синусоидалық толқындарды бірқатар ыдырайтын болады өте тұрақсыз екенін болжаған. Олардың әрқайсысы өз кезеңін (бастапқы позиция) және оның ең үлкен температураны болады. сақина бүтін есе айналасында революция аяқтау үшін кері Осылайша әрбір осындай компонент максимум минимум өзгерістер мен. іргелі гармоникалық деп аталатын кезеңі бар Component, және екі немесе одан да көп кезеңдер бар мән - т.д. және. Мысалы максималды температурасын сипаттайтын, математикалық функция, фазалық немесе лауазымы Фурье функцияларды бөлу түрлендіру деп аталатын. бастапқы бөлу бере мөлшерінде, синусын және косинусын қатарларын - ғалым оңай пайдалану құралдар үшін, математикалық сипаттау қиын бір компонентін әкелді.

талдау мәні

қатты нысанға жылу бөлу айырбастау осы талдау қолдану, айналма нысаны бар, математик синусоидалды компоненттерін арттыру кезеңдері оның тез демпфирования әкеледі деп ойлады. Бұл анық негізгі және екінші гармоника бойынша көрінеді. соңғы температура екі рет бір өту, және бірінші және ең төменгі мәндерін жетеді - тек бір рет. Ол екінші гармоника қызуымен саяхат қашықтық өзегі жартысы болып табылады екен. Сонымен қатар, екінші таймның градиент, сондай-ақ бірінші круче болады. неғұрлым қарқынды жылу ағынының жесір аз қашықтықты өтіп, өйткені Сондықтан, содан кейін осы уақыт функциясы ретінде, төрт есе жылдам негізгі қарағанда гармоникалық өшуге болады. Мынадай процесс тіпті тезірек болады. Математик бұл әдіс уақыт температураның бастапқы бөлу процесін есептеу мүмкіндік береді деп сенген.

құрдастарын қоңырау шалу

Фурье алгоритм уақытта математика теориялық негіздерін шақыру айналды түрлендіру. тоғызыншы ғасырдың басында, Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежандр және Biot, соның ішінде ең көрнекті ғалымдар, бастапқы бөлу температура іргелі толқыны және жоғарғы жиілікте түрінде құрамдас ыдырайтын екенін, оның бекіту қабылдамады. Алайда, Ғылым академиясы математигі алынған нәтижелерді ескермеу, мен заңдар жылу теориясы, сондай-ақ физикалық эксперименттер оның салыстыру жүргізу үшін оған сыйлығына ие емес еді. Фурье көзқарас негізгі қарсылық жарғыш функциясы үздіксіз бірнеше Синусоидалы функцияларды, сомасы ұсынылған факт болып табылады. Өйткені, олар үзіп тікелей және қисық сызықтар сипаттайды. Қазіргі заманғы ғалым осындай квадраттық, сызықтық, синус немесе экспонент ретінде, жарғыш функцияларын үздіксіз комбинациясы сипатталады осындай жағдайды, тап ешқашан. математик өз құқықтарын бекіту дұрыс болды жағдайда, тригонометриялық функциялардың шексіз сериялы сомасы дәл жылдамдығы шектелуі тиіс. мұндай талап абсурд көрінді, ал. Алайда, кейбір зерттеушілер (мысалы Клод Навье, Софи Zhermen) күмән қарамастан зерттеудің аясын кеңейтті және жылу бөлу талдау алып. Математика, бұл ретте, бірнеше Синусоидалы функцияларды сомасы жарылып дәл өкілдігінің дейін төмендейді ма сұраққа шегеді жалғастырды.

200-жылдық тарихы

Бұл теория екі ғасыр, ол, ең соңында қалыптасады Бүгінгі күні астам дамыды. кеңістіктік немесе уақытша функциялар көмегімен жиілігі, фазасы және амплитудасы бар синусоидты құрамдас бөлінеді. Бұл түрлендіру екі түрлі математикалық әдістермен алынған. ол дискретті жеке өзгерістер көптеген ұсынылған жағдайда - көзі үздіксіз функциясы болып табылады, ал екінші кезде олардың бірінші жағдайда пайдаланылады. өрнек дискретті аралықпен анықталады құндылықтарды, алынған болса, онда ол бірнеше дискретті синусоидальды жиіліктер өрнектерді бөлуге болады - ең төменгі және содан кейін екі есеге, үш есеге, және т.б. іргелі жоғары. Бұл сома деп аталады Фурье қатары. бастапқы өрнек әр нақты санының мәні қояды, онда ол бірнеше синусоидты барлық ықтимал жиілік бөлінген болуы мүмкін. Бұл Фурье ажырамас деп аталады, және шешім интегралдық функциясы қайта көздейді отыр. жиілігі мен амплитудасы: қарамастан әрбір жиіліктегі, трансформация алу әдісін екі нөмірлерін көрсетуі тиіс. Бұл құндылықтар бір-ақ білдірді комплекс санның. түрлі электр схемаларды жобалауға, механикалық тербеліс талдау, толқынның таралу механизмін зерттеу және басқа рұқсат есептеулерді орындау үшін бірге Фурье түрлендіру бар өрнек күрделі айнымалылар теориясы.

Фурье бүгін түрлендіру

Қазіргі уақытта, осы процестің зерттеу негізінен ақыл оны кері түрлендіру үшін функциясынан көшу үшін тиімді әдістерін табу азайтатын. Бұл шешім тікелей және кері Фурье түрлендіру деп аталады. Бұл нені білдіреді? үшін ажырамас анықтау және тікелей Фурье жасауға, сіз математикалық әдістерді пайдалана аласыз, бірақ сіз талдау болады. олар іс жүзінде пайдаланылған кезде, кейбір қиындықтар бар болғанына қарамастан, ең интегралдар қазірдің өзінде математикалық анықтамалар табылған және енгізілген болатын. сандық әдістер көмек өрнектер есептелуі мүмкін отырып, пішіні эксперименттік деректер, кімнің интегралдар кестелерде жоқ, және олар аналитикалық нысанда елестету қиын функциясы негізделген.

компьютерлік инженерлік есептеу пайда мұндай қайта өте шаршаған болды бұрын олар толқынды функциясын сипаттау ұпай санына байланысты арифметикалық операциялардың үлкен санының қолмен орындалуын талап етеді. бүгін реттеуге жәрдемдесу, жаңа іске асыру үшін рұқсат арнайы бағдарламалар бар, аналитикалық әдістері. Сондықтан, 1965 жылы, Dzheyms Күлі және Dzhon Tyuki «Фурье тез түрлендіру» ретінде белгілі болды бағдарламалық қамтамасыз ету құрылды. Ол қисық талдау көбейту санын азайту арқылы есептеу уақытын үнемдейді. «Фурье тез түрлендіру» әдісі бірыңғай үлгісі мәндердің үлкен қатарына қисық бөлу негізделген. Тиісінше, көбейту саны ұпай санын азайту сол кезде екі есе қысқарды.

Фурье түрлендіру қолдану

Жылы: Бұл процесс әртүрлі салаларда пайдаланылады сандар теориясы, физика, сигналдарды өңдеу, комбинаторика, ықтималдықтар теориясы, криптографиялық, статистика, океанография, оптика, акустика, және басқа да геометриясы. оны пайдалану үшін бай мүмкіндіктері деп аталады пайдалы ерекшеліктерін, бірқатар негізделген «Фурье түрлендіру қасиеттері.» АҚШ оларды қарастырып көрейік.

1. түрлендіру функциясы сызықтық оператор болып табылады және тиісті қалыпқа унитарлық. Бұл сипат Парсеваля теорема, немесе жалпы жағдайда, теорема Plansherelja немесе Pontrjagin дуализм ретінде белгілі.

2. түрлендіру қайтымды болып табылады. Сонымен қатар, қарама-қарсы нәтиже шешуге тікелей сияқты ұқсас пішіні болып табылады.

3. синусоидалды негізгі өрнектер өз сараланған функциялары болып табылады. Бұл, мысалы, ұсыну өзгертеді дегенді білдіреді сызықтық теңдеулер кәдімгі алгебралық тұрақты коэффициенттері.

4. «свертки» теоремасы бойынша, процесс қарапайым көбейту күрделі операцияны құрайды.

Дискретті Фурье түрлендіру 5. тез «жылдам» әдісін пайдалана отырып, компьютерде жобаланған болады.

Фурье вариация түрлендіру

1. Ең жиі мерзімді нақты бұрыштық жиілік және амплитудасы бар кешенді экспонат білдіру сомасы ретінде кез келген шаршы интеграцияланатын өрнек қамтамасыз ету, үздіксіз трансформация қараңыз үшін пайдаланылады. Бұл түр түрлі тұрақты коэффициенттері болуы мүмкін бірнеше түрлі нысандарын, бар. үздіксіз әдісі математикалық анықтамалар табуға болады конверсия үстел, кіреді. А жалпылама жағдайда бұл процесс қажетті нақты билікке көтерілген болуы мүмкін, соған сәйкес бөлшек түрлендіру болып табылады.

2. үздіксіз әдісі кез келген үшін анықталған Фурье бұрын техника қорыту болып табылады мерзімді функцияларын шектеулі ауданында бар және синусоиданың сериясы ретінде оларды білдіретін немесе өрнектерді.

3. дискретті Фурье түрлендіру. Бұл әдіс ғылыми есептеу және сандық сигнал өңдеу үшін есептеу пайдаланылады. есептеу осы түрін жүзеге асыру үшін жеке нүктелер, мерзімді немесе шектеулі аймақ орнына үздіксіз Фурье интегралдарды дискретті жиынтығы анықтау функциясын болуы қажет. Бұл жағдайда сигнал конверсиялық синусоиданың сомасы ретінде ұсынылған. «Жылдам» әдісін қолдану барлық практикалық мақсаттар үшін сандық шешімдердің пайдалануға мүмкіндік береді.

4. терезе Фурье түрлендіру классикалық әдіспен жалпыланған көрінісі болып табылады. Осы айнымалы болмыстың толық спектрін қабылданады сигнал спектрі қолданылады стандартты шешімдер, айырмашылығы мұнда ерекше қызығушылық бастапқы айнымалыны (уақыты) сақтай отырып, тек жергілікті жиілік бөлу болып табылады.

5. Екі өлшемді Фурье. Бұл әдіс деректерді екі өлшемді массивтермен жұмыс істеу үшін пайдаланылады. басқа - Мұндай жағдайда, конверсиялық бір бағытта жүзеге, содан кейін беріледі.

қорытынды

Бүгін, Фурье әдісі берік ғылымның түрлі салаларында орнықты. Мысалы, 1962 жылы ол Рентгенқұрылымдық ұштастыра отырып, Фурье талдау арқылы ДНК қос спираль пішінді ашылды. Соңғы кристалдар фильм жазылған дифракция, алынған болып сурет, нәтижесінде ДНК талшықтарды бағытталған. Бұл сурет Фурье осы кристалды құрылымын қайта пайдалану арқылы амплитудасының құны туралы ақпаратты берді. ұқсас химиялық құрылымдар талдау алынған карталарымен ДНК дифракциялық карталарды салыстыру арқылы алынған Фаза деректер. бастапқы функциясы - Нәтижесінде, биологтар кристалды құрылымын қалпына келтірілді.

Фурье ойнату ғарыш кеңістігін зерттеу үлкен рөл, жартылай өткізгіш материалдар мен плазма, микротолқынды акустика, океанография, радиолокациялық, сейсмология және медициналық тексерулердің физика түрлендіру.