Крамер ережесі және оны қолдану

Крамер ережесі - шешу үшін нақты әдістерінің бірі болып табылады сызықтық алгебралық теңдеулер (Slough) жүйелері. жүйесі матрица детерминант пайдалану, сондай-ақ теоремалары дәлелдеу кезінде шектеулер кейбір салдарынан Оның дәлдігі.

Мысалы тиесілі коэффициенттері бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі, R көптеген - белгісіз x1 нақты сандар, x2, ..., Xn өрнектерді жинағы

ai2 x1 + ai2 x2 + ... Айн Xn = (1), ..., м, 2, I = 1 би

онда МОС, би - нақты сандар. Осы өрнектерді Әрбір деп аталады сызықтық теңдеу, белгісіз коэффициенттері, би - - теңдеулер тәуелсіз коэффициенттері МОС.

(1) шешу, белгісіз x1 үшін жүйеге ол алмастыру, x2 кезінде, х ° = (x1 °, x2 °, ..., Xn °) N-өлшемді вектор деп аталатын ..., Xn, жүйеде әр желілерін үздік теңдеуі болып .

ол бос жиынтығы шешімі жиынтығы сәйкес келеді, егер жүйе, ол кем дегенде бір шешімі бар болса дәйекті деп аталады, және қайшы болып табылады.

Ол негізінен жүйесінде белгісіз және теңдеулер саны бірдей, демек, Крамер әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу жолдарын табу үшін, матрица жүйесін шаршы болуы тиіс екенін есте сақтау қажет.

Сондықтан, Крамер әдісі пайдалануға, сіз кем дегенде білу керек матрицасы болып табылады қандай сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі, және ол берілген. Ал екіншіден, есептеу және матрица өз дағдыларын айқындаушы деп аталады түсіну үшін.

АҚШ-тың бұл білім, сіз ие делік. Wonderful! Содан кейін сіз жай ғана Крамер әдісі анықтау формулаларын жаттап керек. есте сақтау жеңілдету үшін мынадай белгілер:

• Det - жүйенің матрицаның негізгі айқындаушы;

• Deti - оның элементтері сызықты алгебралық теңдеулер оң тараптар болып табылатын баған векторына матрица I-ші бағанын ауыстыру арқылы жүйенің бастапқы матрицада алынған матрица айқындаушы фактор болып табылады;

• N - жүйесінде белгісіз және теңдеулер саны.

Содан кейін Крамер ережесі есептеу і-ші компонент XI (і = 1, .. N) N-өлшемді вектор X ретінде жазуға болады

XI = Deti / Det, (2).

Бұл жағдайда, нөлдік қатаң түрлі Det.

ол бірлесе нөлге жүйесінің негізгі анықтауышы теңсіздік жағдайына берілген жүйесін шешу бірегейлігі. Олай болмаған жағдайда, (XI) сомасына, егер, онда квадрат матрица бесеуi жүзеге табылады SLAE, қатаң оң квадрат. Deti ненулевой кезде кем дегенде бір Бұл, атап айтқанда, орын алуы мүмкін.

1-мысал. Крамер формуласы арқылы үш өлшемді LAU жүйесін шешу үшін.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Шешім. Матрицаның і-ші жол - Біз Ai желісі, жүйе желісі матрицасын жазып.
A1 = (1 2 4), А2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Баған еркін коэффициенттері B = (31 Қазан 29).

Негізгі жүйесі айқындаушы Det табылады
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - = -27 10.

A11 = b1, А21 = b2, A31 = B3 пайдаланып det1 ауыстырулар есептеу үшін. содан кейін
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.

A13 = b1, A23 = b2, A33 = B3 - Сол сияқты, det2 пайдалану ауыстыруға A12 = b1, A22 = b2, A32 = B3, және, тиісінше, det3 есептеу есептеу үшін.
Содан кейін сіз = -108 деп det2 тексеріп, det3 = болады - 135.
формулаларға сәйкес Крамер таба x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Жауап: х ° = (3,4,5).

Осы ереженің қолдану сүйене отырып, сызықтық теңдеулер жүйесін шешу Крамер әдісі параметр к мәніне байланысты шешімдер ықтимал санына жүйесін тергеу, мысалы, жанама пайдаланылуы мүмкін.

у - - KX 4 | | не параметр K теңсіздікті мәндері кезінде анықтау үшін Мысал 2. + | х + KY + 4 | <= 0 дәл бір шешімі бар.

Шешім.
модуль функциясы анықтау Бұл теңсіздік, екі өрнектер бір мезгілде нөлге тең болса ғана жүзеге асырылуы мүмкін. Сондықтан, бұл мәселе сызықтық алгебралық теңдеулер шешімін табу азайтатын

KX - у = 4,
X + KY = -4.

ол негізгі айқындаушы фактор болып табылады, тек егер осы жүйенің шешімі
Det = K ^ {2} + 1 нуля деген сара. Бұл шарт параметр К барлық нақты мәндері үшін риза екені түсінікті.

Жауап: параметр К барлық нақты мәндері үшін.

Осы түрдегі мақсаттары, сондай-ақ саласында көптеген практикалық мәселелерді азайтылуы мүмкін математика, физика немесе химия.