Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы. үшбұрыштың бұрыштары сомасы туралы теорема

үшбұрыш үш жағын (үш бұрыштар) бар полигоны болып табылады. Ең жиі бөлігі қарама-қарсы шыңын білдіретін бас әріптермен, тиісті кіші әріптермен белгіленеді. Осы мақалада біз үшбұрыштың бұрыштары сомасына тең не анықтайды геометриялық фигуралар осы түрлері бойынша көрінісін, теорема, қабылдайды.

Түрлері ірі бұрыштар

үш шыңы бар полигонының мынадай түрлері:

• барлық бұрыштары өткір болып табылатын, өткір бұрышты;
• жағы оны қалыптастыру, бір оң бұрышы бар тікбұрышты, аяғы аталады, және оң бұрышта қарсы орналасқан жағы гипотенузы деп аталады;
• тупой бір кезде бұрышы тупой ;
• кімнің Әңгімелесушілер тең, және олар жанынан аталады бүйірлі, және үшінші - негіз бар үшбұрыш;
• үш тең жақтарын бар қабырғалы.

қасиеттері

үшбұрыштың әрбір түрі тән негізгі қасиеттері бөледі:

• ең жағында қарама-қарсы әрқашан үлкен бұрышы, және керісінше;
• тең тең-ірі партиясының қарсы бұрыштары, және керісінше болып табылады;
• кез келген үшбұрыштың екі өткір бұрыштарды бар;
• кез келген ішкі бұрышынан емес іргелес оған қарағанда сыртқы бұрышы үлкен;
• кез келген екі бұрыштары сомасы әрқашан кем 180 градус;
• сыртқы бұрышы онымен mezhuyut емес, басқа да екі бұрыштарының қосындысын, тең.

үшбұрыштың бұрыштары сомасы туралы теорема

теорема сіз евклидовой жазықтықта орналасқан геометриялық пішіндегі барлық бұрыштары, қосуға болса, онда олардың сомасы 180 градус болады деп мәлімдейді. Осы теореманы дәлелдеу үшін тырысайық.

біз шыңдары KMN бар еркін үшбұрыш болсын. М жоғарғы жағында өткізеді желісіне тікелей параллель К.Н. (тіпті бұл жолы Евклид деп аталады). балл К және А желісі М.Н. түрлі жағынан орналасқан, сондықтан ол нүкте А атап өткен жөн. Біз параллель ретінде интерьер, тікелей CN және М.А. бірлесе отырып МН қиылысатын қалыптастыру көлденең өтірік, МҒА және MUF сол бұрышын, алуға. Осы жылдан бастап ол М және N шыңында орналасқан үшбұрыштың бұрыштары сомасы, CMA бұрышын мөлшеріне тең болып табылады. Барлық үш бұрыштар ҚТА және MCS бұрыштарын сомасына тең сомаға тұрады. деректер қиылысатын ішкі бұрыштар салыстырмалы жақты параллель сызықтар CL және СМ М.А. болғандықтан, олардың сомасы 180 градус. Бұл теорема дәлелденді.

нәтиже

Жоғарыда теорема Жоғарыда салдарынан туындайтын көздейді: әр үшбұрыш екі өткір бұрыштары бар. Бұл дәлелдеу үшін, бізге осы геометриялық фигура бір ғана бұрышы өткір бар делік. Сіз сондай-ақ бұрыштарының ешқайсысы өткір емес екенін болжауға болады. Бұл жағдайда тең немесе 90 градус артық магнитудасы табылатын кем дегенде екі бұрыштар, болуы тиіс. Бірақ содан кейін бұрыштары сомасы 180 градусқа артық. Бірақ бұл үшбұрыштың теоремасы сомасы бұрыштарының сәйкес ретінде бола алмайды 180 ° тең - көп емес, кем емес. Дәлелдеді керек еді қандай.

Жылжымайтын мүлік тыс бұрыштары

сыртқы үшбұрыштың бұрыштары, сомасы қандай? Бұл сұрақтың жауабы екі жолдың бірін қолдану арқылы алуға болады. алдымен, үш бұрыштар әр шыңында бір алынады бұрыштары сомасы, табу керек екенін. Екінші, сіз шыңында алты бұрыштары сомасын табу керек екенін білдіреді. Бірінші нұсқада жүзеге басынан күресуге. екі әрбір жоғарғы жағында - Осылайша, үшбұрыш алты сыртқы бұрыштары бар. олар тік өйткені әрбір жұп, өзара тең бұрыштары бар:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Сонымен қатар, ол үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен mezhuyutsya емес, екі интерьер сомасын, тең екені белгілі. сондықтан,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Осы жылдан бастап ол әрбір шыңдары жанында бір-бірлеп қабылданады сыртқы бұрыштары, сомасы тең болады деп пайда:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 х (∟A + ∟V ∟S +).

бұрыштары сомасы 180 градусқа тең екендігін ескерсек, бұл ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° айтуға болады. Бұл ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 ° = 360 ° дегенді білдіреді. Екінші нұсқа пайдаланылса, алты бұрыштарды сомасы екі есе тиісінше көп болады. тыс үшбұрыштың бұрыштары яғни сомасы болады:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

тікбұрышты үшбұрыш

оң үшбұрыштың бұрыштарының қосындысына тең неде, арал? жауап үшбұрыштың бұрыштары 180 градусқа дейін қосуға делінген, бұл теоремасы, бастап, қайтадан болып табылады. ретінде дыбыс біздің бекіту (мүліктік) мынадай: өткір бұрыштар 90 градусқа дейін қосуға құқығы үшбұрыштың жылы. Біз оның растығына дәлелдейді. ∟N 90 ° = үшбұрышты KMN, берілуі бар болсын. Ол ∟K ∟M = + 90 ° дәлелдеуге қажет.

Осылайша, бұрыштар ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° сомасына туралы теоремалар сәйкес. Бұл жағдайда ол ∟N 90 ° = екен. Ол ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° шығады. 90 ° 90 ° = - Яғни ∟K ∟M + = 180 °. Яғни, біз дәлелдеуге тиіс еді.

оң үшбұрыштың жоғарыда қасиеттері қатар, осы қосуға болады:

• өткір аяғы қарсы өтірік бұрыштар;
• аяғы қарағанда, кез келген үлкен Үшбұрыш туралы гипотенузы;
• гипотенузы астам аяғы сомасы;
• 30 градус бұрышқа қарама-қарсы орналасқан үшбұрыштың, аяғы, гипотенузы жартысы, яғни оның жартысына тең.

геометриялық пішіні басқа меншік ретінде ерекшеленген Пифагор теоремасы болуы мүмкін. Ол 90 градус (тік бұрышты) бұрышпен үшбұрыш, аяғы квадраттарының қосындысы гипотенузы квадратын тең дейді.

бүйірлі үшбұрыштың бұрыштары сомасы

Бұрын біз бүйірлі үшбұрыш екі тең жағын қамтитын, үш шыңы бар көпбұрыштың екенін айтты. Бұл сипат геометриялық фигура белгілі: оның базасында бұрыштар тең. АҚШ-тың бұл дәлелдеуге болсын.

оның негізі - үшбұрыштың бүйірлі, SC болып KMN, алыңыз. Біз бұл ∟K = ∟N дәлелдеуге міндетті. Сондықтан, бізге бұл MA делік - KMN біздің үшбұрыштың биссектрисасы болып табылады. теңдік бірінші белгісімен ICA үшбұрыш үшбұрыш MNA болып табылады. Осы биссектрисасы - MA өйткені, атап айтқанда шарты бойынша, СМ = Н.М., MA ортақ жағы екенін, ∟1 = ∟2 берілген. екі үшбұрыш тең пайдалану, бір сол ∟K = ∟N дау еді. Демек, теорема дәлелденді.

Бірақ біз үшбұрыш (тең бүйірлі) бұрыштарының қосындысы болып табылады, бұл мүдделіміз. бұл орайда ол өз ерекшеліктері бар, себебі, біз бұрын талқыланды теорема басталады. Яғни, біз ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, немесе (∟K = ∟N ретінде) 2 х ∟K ∟M + = 180 ° деп айтуға болады. Бұл үшбұрыштың бұрыштары сомасы туралы теорема дәлелденді ретінде бұрын, мүлікті дәлелдеуге болмайды.

үшбұрыштың бұрыштарының саналады қасиеттері қоспағанда, мұндай маңызды есептілігі сондай-ақ бар:

• жылы Тең қабырғалы үшбұрыш биіктігі, базаға дейін төмендетілді болатын, бір мезгілде тең жағынан және арасындағы бұрыш орташа биссектрисасы болып симметрия осіне оның базасын;
• геометриялық қайраткері жағынан өткізіледі MEDIAN (биссектрисасы, биіктігі), тең болып табылады.

тең қабырғалы үшбұрыш

Ол сондай-ақ құқығы деп аталады, барлық тараптарға тең үшбұрыш болып табылады. Және, демек, сондай-ақ, тең және бұрыштар. Олардың әрқайсысы 60 градус. АҚШ-тың бұл сипатты дәлелдеуге болсын.

біз үшбұрыш KMN бар делік. Біз К.М. = HM = KH екенін білеміз. Бұл Тең қабырғалы үшбұрыштың ∟K = ∟M = ∟N қаласында базасында орналасқан бұрыштары мүлкіне сәйкес, дегенді білдіреді. үшбұрыш туралы теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, содан кейін X 3 = 180 ° ∟K немесе ∟K = 60 °, = 60 ° ∟M, ∟N = 60 ° бұрыштарының сомасы сәйкес, бері. Осылайша, бекіту дәлелденген. Жоғарыда теорема негізінде жоғарыда дәлелдемелер ретінде көрініп, бұрыштарды сомасы Тең қабырғалы үшбұрыштың, кез келген басқа үшбұрыштың бұрыштары сомасы ретінде 180 градус. Тағы да осы теореманы дәлелдеу қажет емес.

Тең қабырғалы үшбұрыштың тән кейбір қасиеттері әлі бар:

• Орталау биссектрисасы бірдей геометриялық фигура биіктігі, және олардың ұзындығы (а х √3) ретінде есептеледі: 2;
• Бұл полигон шеңбер шектейтін болса, онда радиусы (а х √3) тең болады: 3;
• шеңбер қабырғалы үшбұрыштың жазылған болса, оның радиусы (√3 а х) болар еді: 6;
• геометриялық фигура ауданы формула бойынша есептеледі: (a2 х √3): 4.

тупой үшбұрыш

анықтау, бойынша тупой бұрышты үшбұрыштың, оның бұрыштарының бірі 90 180 градус арасында орналасқан. Бірақ өткір геометриялық пішіні басқа екі бұрыштары ескерсек, олар 90 градустан аспауға жоқ деген қорытынды жасауға болады. Сондықтан, үшбұрыш теоремасының бұрыштары сомасы тупой үшбұрыштың жылы бұрыштары қосындысын есептеу кезінде жұмыс істейді. Сондықтан, біз қауіпсіз үшбұрыштың тупой бұрыштары сомасы 180 градус теоремасы негізделген, айтуға болады. Тағы да, бұл теорема-дәлелі қайта қажеті жоқ.