Теңдеу - бұл не? Анықтамасы, мысалдар

математика мектебінің барысында, бала бірінші «Теңдеу» термині естиді. Бұл не, бірге түсінуге тырысыңыз. Осы мақалада біз шешу түрлері мен әдістерін қарастыру.

Математика. теңдеу

ол қандай ұғымына күресуге ұсына бастау үшін? математика көптеген оқулықтар айтылғандай, теңдеу - бұл сіз белгілі теңдік белгісі тиіс арасындағы өрнектерді кейбір ғой. Осы өрнектерді жылы болып табылады және табылған тиіс құны хаттар, деп аталатын айнымалы, бар.

айнымалы дегеніміз не? оның мәнін өзгертеді Бұл жүйе атрибут. айнымалылар жақсы мысал болып табылады:

• ауа температурасы;
• баланың өсуі;
• салмағы және т.б..

былайша математика, олар мұндай х, а, б, в ретінде әріптер, тағайындалған ... Әдетте математика міндет болып табылады: мәні теңдеуін табыңыз. Бұл осы айнымалы мәнін табу керек екенін білдіреді.

түрлері

(Біз алдыңғы тармақта талқыланды, яғни,) теңдеу мынадай түрде болуы мүмкін:

• сызықтық;
• шаршы;
• текше;
• алгебралық;
• трансцендентны.

барлық түрлері туралы қосымша ақпарат алу үшін, әрбір жеке қарастырамыз.

сызықтық теңдеу

Бұл оқушылар танысады бірінші түрі болып табылады. Олар өте тез және оңай шешіледі. Осылайша, бұл не сызықтық теңдеу болып табылады? нысанын Бұл өрнек: S = C. Сондықтан өте анық емес, сондықтан біз бірнеше мысалдар бере: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

АҚШ теңдеулер мысалдар қарастырайық. біз бір жағынан, барлық белгілі деректерді жинау, және, басқа да белгісіз қажет Бұл әрекетті орындау үшін: X = 26/2; X = 40/5; X = 6 / 1.2. а / е = Осы с, а * с = е;: математика қарапайым ережелерін бар пайдаланылды а = E / с. теңдеудің шешімін аяқтау үшін, біз бір іс-қимыл (бұл жағдайда, бөлу) = 13 х орындауға; X = 8; X = 5. Бұл шегеру және Сонымен қатар қазір көрінетін көбейту мысалдар болды: х + 3 = 9; 5-10X 15 =. Белгілі деректер бір бағытта беріледі: х = 9-3; X = 20/10. Біз Соңғы әрекетті орындаңыз: х = 6; X = 2.

2x-2y = 4: Сондай-ақ, нұсқалары астам бір айнымалы сызықтық теңдеулер, мүмкін болып табылады. шешу үшін, ол әрбір бөлігі 2y қосу қажет, біз көрген, біз, 2x-2y + 2y = 4-2u алуға, төмендеген теңдік белгісі және -2u + 2y сол жағында, осылайша біз отырып қалды: 2x = 4 -2u. соңғы қадам екі әрбір бөлігін бөлуге, біз жауап алуға: X екі минус у болып табылады.

теңдеулер мәселелері тіпті Rhind математикалық папирус табылды. Яғни проблемалардың бірі: саны және төртінші бөлігі мынадай теңдеу жазу Бұл мәселені шешу 15. жалпы береді: X плюс бір төртінші X он бес тең. Біз тағы бір мысал қараңыз сызықтық теңдеудің х = 12: біз жауап алуға, жалпы шешімдер үшін. Бірақ бұл мәселе, атап айтқанда, басқа жолмен шешілуі мысырлық, немесе ол алыпсатарлық тәсілі, басқаша атайды болады. папирус мынадай шешімін пайдаланылады: төрт қабылдауға және оның төрттен, бұл бірі болып табылады. сомасы, олар бес береді он бес сомасына бөлуге болады енді, біз, төрт көбейтілген үш соңғы әрекетті үш алуға. біз бес бөлінген он бес айналысатын болып табылады Неге 12.: Біз жауап алуға? Сондықтан біз, бұл, біз кем дегенде бес алу қажет, оның нәтижесі қанша рет он бес табылады білуге. Осылайша, біз орта ғасырларда мәселелері шешілді, ол жалған жағдайын әдісі деп аталатын болады болды.

квадрат теңдеулер

Бұрын қарастырылған мысалдардың Сонымен қатар, басқа да бар. Қандай? Квадрат теңдеу, бұл не? Олар нысаны балта ² + BX + C = 0 болады. Оларды шешу үшін, сіз тұжырымдамалар мен ережелер кейбір танысып керек.

B ² -4ac: Біріншіден, сіз формула дискриминант табу керек. нәтижеге шешу үш жолы бар:

• дискриминант нөлден;
• кем нөлдік;
• нөлге тең болады.

Б + екі рет бірінші коэффициенті, яғни 2a бөлінген дискриминант түбірі: бірінші нұсқасы біз формула бойынша екі тамыры, жауап ала аласыз.

Екінші жағдайда, онда теңдеудің түбірлерінің. Б / 2a: үшінші жағдайда формула түбірі болып табылады.

Егжей-тегжейлі танысу үшін теңдеу квадрат мысалын қарастырайық: үш X он төрт X минус квадрат минус бес нөлге тең. Жоғарыда жазылған ретінде дискриминант қарап, бастау үшін, біздің жағдайда ол нәтижесінде саны нөлден екенін 256. Ескерту тең, сондықтан, біз екі тамыры тұратын жауап алуға тиіс. Алмастыратын тамыры табу үшін дискриминант формула алынған. Нәтижесінде, біз бар: X бес және минус бір-үштен тең.

Квадрат теңдеулер арнайы жағдайлары

Бұл, мүмкін, одан құндылықтарды кейбір нөлдік (а, В немесе С) болып табылатын мысалдар, және болып табылады.

Мысалы, екі X квадрат шаршы келесі теңдеу, нөлге тең деп санаймын, бұл жерде біз В және С нөлге тең екенін көріп отырмыз. = 0 х ^2: екі арқылы екі тараптың, біз бар екенін, оны шешуге тырысайық. Нәтижесінде, біз х = 0 алу.

Тағы бір жағдайда 16x ² = 0 -9 болып табылады. Мұнда, тек б = 0. Біз теңдеу шешу, оң жақ еркін аудару коэффициенті: 16 х ² = 9, қазір әрбір бөлігі х ² он алты = тоғыз, алты бөлінеді отыр. біз х квадрат болғандықтан, 9/16 шаршы түбірі теріс немесе оң болуы мүмкін. төмендегідей жауап жазылған: X плюс / минус төрттен үш тең.

Ықтимал және осы жауап, теңдеудің түбірлерінің ұнамайды. = 0 80 + 5 × ^2, мұндағы B = 0: АҚШ Келесі мысалда қарастырайық. 5x ² = -80, ал қазір әрбір бөлігі бес бөлінеді: тұрақты мерзімді оң жағына таралады шешу үшін, осы қадамдарды кейін, біз алуға х ² = минус он алты. кез келген сан квадрат болса, теріс мәні біз алуға. Бұл туралы біздің жауап: бар теңдеудің түбірлерінің кезінде.

ыдырау trinomial

Квадрат теңдеулер арқылы міндеті басқа жолмен көрінуі мүмкін: факторларды назарға квадраттық trinomial ірітуге. а (х-х ₁₎ (х-х _2): Бұл мынадай формула арқылы жүзеге асырылуы _{мүмкін.} Бұл үшін, басқа да анықтамалық нұсқада жүзеге асыру, сондай-ақ, ол дискриминант табу қажет.

Келесі мысалды қарастырайық: 3x ² -14h-5, mnozheteli trinomial бойынша ыдырайтын. 256 нөлден екендігін атап Қазір 256 болуы анықталса, қазірдің өзінде белгілі формула арқылы дискриминант табу, сондықтан, теңдеу екі тамыры болады. оларды таба, алдыңғы тармақта сияқты, біз бар: х = минус бес және бір-үштен. mnozheteli 3 (х-5) (х + 1/3) бойынша ыдырау trinomial формуланы пайдаланыңыз. біз формуласы минус белгісі, және түбірлік тұр, себебі, белгісін тең ие екінші жақшаға де, біз плюс белгісін бар мөлшерде, математика базалық білім пайдаланып, теріс. (Х-5) (х + 1): қарапайымдылығы үшін, біз бірінші және фракцияларын құтылу теңдеудің үшінші мерзімін көбейту.

алаңға келтіріп теңдеулер

Бұл бөлімде, біз неғұрлым күрделі теңдеулерді шешу үйрену. Біз мысалы дереу басталады:

2 (х ² - - 2x) - (х ² - 2x) ² 3 = 0. Біз қайталанатын элементтерді байқай аласыз: (х ² - 2x), басқа айнымалы, оның орнына, содан кейін қарапайым квадраттық теңдеуді шешу үшін шешімдер үшін бізге ыңғайлы, дереу осы тапсырмада біз төрт тамыры алуға, ол сізді Әйтпесе тиіс екенін ескеріңіз. қайталау айнымалы және белгілейік. Біз ² 2А-3 = 0 алу. Біздің келесі қадам - жаңа дискриминант теңдеу табу. минус бір және үш: Біз екі тамыры таба, 16 алуға. Біз нәтижесінде, біз теңдеуді бар, біз жасадық ауыстыруға екенін есте, осы мәндерді алмастыруға: х ² - 2x = -1; х ² - = 3 2x. Бірінші жауап оларды шешу: х екінші, бірі болып табылады: х минус бір және үш. төмендегідей жауап жазу: плюс / минус бір және үш. Әдетте, жауап өсу тәртібімен жазылған.

текше

Тағы бір опцияны қарастырайық. Ол текше теңдеулер туралы ғой. балта ³ + BX ² + CX + D = 0: Олар нысаны бар. біз одан әрі қарастыру, және аздап теориясы бастау үшін теңдеулер мысалдары. текше бәйгенің теңдеулер табу үшін формула бар, өйткені олар, үш тамыры болуы мүмкін.

³ + ³ 4 ² + = 0 2: Бұл мысал қарастырайық. оны қалай түзетуге болады? X (3 + ² 4 + 2) = 0: Бұл әрекетті орындау үшін, біз жай ғана жақшалар х шығарыңыз. біз барлық істеу керек - жақшада теңдеудің түбірлерінің есептеу болып табылады. X = 0: жақша дискриминант осы негізінде, нөлден кем болып, түбір өрнек бар.

Алгебра. теңдеу

Келесі көргеннен өтіңіз. Енді біз қысқаша алгебралық теңдеу қарастыру. төмендегідей міндеттердің бірі болып табылады: топтау әдісі mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5 бойынша созыңыз. (+ ⁴ 3 3 ²⁾ + (2x ³ + 2) + (5 × ² 5): ең ыңғайлы әдіс мынадай тобы болып табылады. Біз 3 және ² 5x ² сомасы ретінде ұсынылған алғашқы білдіру 8 × ² екенін ^{ескеріңіз.} Енді біз жақшалар 3 ортақ фактор ² (x2 + 1) 2 + (х ² +1) 5 ^(х +1 ²⁾ әрбір шығарыңыз. Біз ортақ фактор бар екенін көріп: X жақшасыз шығарып жасауға, бір плюс квадрат: (х ^{2 1)} (3 ² + 2 + 5). екі теңдеулер теріс дискриминант өйткені одан әрі ыдырау, мүмкін емес.

трансцендентного теңдеулер

Келесі түрімен күресуге ұсыныс. трансцендентного функцияларды қамтиды Бұл теңдеу, атап айтқанда, логарифмдік, тригонометриялық немесе экспоненциалды. Мысалдар: т.б. ² х + tgx-1 = 0, х + 5lgx = 3 және 6sin. олар шешіледі қалай, сіз тригонометрия үйренуге болады.

функция

тұжырымдамасын соңғы кезеңі, теңдеу функциясын қарастырайық. Алдыңғы нұсқаларын айырмашылығы, бұл түрі шешілуі мүмкін емес, және графтар оған негізделген. Осы теңдеудің құру үшін барлық қажетті ұпай табуға, талдауға жақсы тұр, ең жоғарғы және ең төменгі балл есептеу.