Базасы, жағы мен толық: пирамида ауданын қалай есептейді?

математика студенттер емтиханға дайындық бойынша алгебра және геометрия білімдерін жүйелеу керек. Мен осындай пирамида ауданын есептеу қалай ретінде барлық белгілі ақпаратты біріктіру өткім келеді. Сонымен қатар, төменгі және жағынан бастап бүкіл беткі ауданы дейін тұр. жағы олар үшбұрыш болып жағдай, анық тұр болса, базалық әрқашан түрлі болып табылады.

кезде пирамида базасын ауданы болуға қалай?

Ол N-угольник үшін еркін үшбұрыштың мүлдем кез келген көрсеткіш болуы мүмкін. Және бұл базалық, бұрыштар санын айырма қоспағанда, дұрыс немесе дұрыс сан болуы мүмкін. емтихан бойынша студенттер міндеттерді мүддесі базасында дұрыс қайраткерлерімен ғана жұмыс орындарын тапты. Сондықтан, біз тек олар туралы айтуға болады.

тең қабырғалы үшбұрыш

Яғни қабырғалы болып табылады. барлық тараптар тең болып табылады және хатта «а» белгіленеді бірі. Бұл жағдайда, пирамида базалық ауданы формула бойынша есептеледі:

S = (а * √3 ²⁾ / 4.

шаршы

оның аймағын есептеу формуласы қарапайым болып, «А» болып табылады - жағы қайтадан:

Ал S ^{2 =.}

Ерікті тұрақты N-угольник

көпбұрыштың жағынан бірдей белгілеу. бұрыштар санын п латын әрпін пайдаланылады.

S = (N * ²⁾ / (4 * тг (180º / N)) .

жанынан және толық бетінің ауданы есептеу қалай түсуге болады?

базалық көрсеткіш дұрыс болғандықтан, онда пирамида барлық қырлары тең. бүйір шеттері тең, өйткені оның әрбір, бүйірлі үшбұрыш болып табылады. Содан кейін, пирамида жағында ауданын есептеу үшін бірдей одночлены сомасы тұратын формуласын қажет. терминдер саны базалық тараптардың мөлшерінде анықталады.

бүйірлі үшбұрыштың ауданы базалық өнімнің жартысы биіктігі көбейтіледі онда формула бойынша есептеледі. apothem деп аталатын пирамида Бұл биіктігі. Оның белгілеу - «А». төмендегідей жанынан бетінің ауданы бойынша жалпы формуласы:

S = ½ P * A, P - пирамида базасын периметрі.

Онда базалық жағына белгілі емес есе болып табылады, бірақ бүйір шеттері (а) жазық және қиядан (α) кезінде бұрышы болып табылады. Содан кейін ол пирамиданың бүйір аймағын есептеу үшін келесі формуланы қолдануға сүйенеді:

S = N / 2 ² * күнә α.

Тапсырма № 1

Жағдайы. оның негізі болып табылады, егер пирамиданың жалпы алаңы табу Тең қабырғалы үшбұрыш 4 см жағын және мәні √3 apothem см бар.

Шешім. Ол базалық периметрі есептеу бастау керек. Бұл тұрақты үшбұрыш болғандықтан белгілі болғандай, содан кейін P = 3 * 4 = 12 см apothem бірден * 12 * √3 = 6√3 ^см2 ½ :. бүкіл жанынан бетінің ауданын есептеуге ^{болады.}

базалық үшбұрышты алу үшін ауданның (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^см2 мәні болып ^{табылады.}

6√3 + 4√3 = 10√3 ^см2: бүкіл аймағын анықтау үшін екі нәтижесінде мәндерін бүктеп ^қажет.

Жауап. 10√3 ^см2.

Мәселе № 2

Жағдайы. тұрақты төртбұрышты пирамида бар. 16 мм - базасын ұзындығы 7 мм, жанынан шетіне тең. Сіз оның бетінің ауданын білу қажет.

Шешім. тікбұрышты және дұрыс, оның базасында квадрат - полиэдра бастап. базалық аймағын Есту және бүйір жағынан шаршы пирамида санай алады. алаңда формуласы жоғарыда берілген. Ал мен үшбұрыштың барлық қыры білемін. Сондықтан, Сіз олардың бағыттарын есептеу құтан формуласын пайдалануға болады.

Бірінші есептеулер қарапайым болып табылады және осы санына әкелуі: 49 мм ^2. Екінші мәні есептеу үшін semiperimeter қажет: (* 2 7 + 16): 2 = 19,5 мм. √ (19,5 * (19,5-7): Енді біз бүйірлі үшбұрыштың ауданын есептеуге болады * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 мм ^2. Онда төрт үшбұрыш, сондықтан соңғы сандарды есептеу кезінде 4 көбейтіледі қажет болады.

Алынған: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^мм2.

Жауап. ² мм 267,576 қалаған мәні.

Тапсырма № 3

Жағдайы. тұрақты төртбұрышты пирамида кезде аймағын есептеу қажет. 6 см және биіктігі - - 4 см Ол шаршы жағы белгілі.

Шешім. периметрі мен apothem көбейтіндісіне формуланы пайдалана ең оңай жолы. Бірінші мән жай табылды. сәл қиын екінші.

Біз Пифагор теоремасы есте және қарастыру керек үшбұрыш. Бұл гипотенузы болып пирамида және apothem, биіктігі қалыптасады. многогранника биіктігі оның ортасында түсіп ретінде екінші аяғы, алаңда жартысы жағы болып табылады.

Жаққан apothem (оң үшбұрыштың гипотенузы) √ тең (Наурыз ² + 4 ²⁾ 5 (см) =.

½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (см ^2): Енді бұл қажетті мәнді есептеуге ^{болады.}

Жауап. 96 см ^2.

Мәселе № 4

Жағдайы. Дана тұрақты алтыбұрышты пирамиданың. 61 мм - 22 мм, жанынан шетінен тең, оның базасын тараптар. Осы многогранника жанынан бетінің ауданы қандай?

Шешім. оған ой жүгірту міндеті №2 сипатталғандай бірдей. Тек пирамида базасында алаңға онда берілген, ал қазір ол Алты қырлы болып табылады.

Бірінші қадам жоғарыда келтірілген формула ^{(6 * 22 2) / (базалық} ауданы есептеледі 4 * тг (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^см2.

Енді сіз жанама тұлға болып табылады бүйірлі үшбұрыштың, жарты периметрі табу керек. (* 2 22 + 61) :. = 72 см 2 үшбұрыштың әр ауданын есептеу құтан формуласы қалады, содан кейін алты есеге және базаға шықты бірі оны көбейту.

Heron формуласы бойынша есептеулер: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 см ^2. * 6 = 3960 660 см ^2: жанынан бетінің ауданын қамтамасыз етеді ^{есептеулер.} Ол бүкіл бетін табу үшін оларды қосу қалады: см ^{2 5217,47≈5217.}

Жауап. Алаңдары - 726√3 см ^2, бүйір беті - 3960 см ^2, бүкіл аумағы - 5217 см ^2.